正20面体の頂点の座標と体積

1辺が2の正二十面体を考えます。このとき正二十面体の頂点は、の直交する3枚の長方形の頂点となります。(「ボタン1」を何回か押してみてください)

tの値を求めることができれば、12個の頂点すべての座標を設定することができます。

A(0,1,t),B(1,t,0),C(-1,t,0)とします。(「ボタン2」を押してください)


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Aから平面BCDEに下ろした垂線の足をH、BCの中点をMとすると、H(0,1,0),M(0,t,0)となります。

ここで、

\(AB^2=(0-1)^2+(1-t)^2+(t-0))^2=2t^2-2t+2\)

であり、三角形\(\rm{ABC}\)は正三角形であるから、

\(AB^2=BC^2=2^2\)

となります。

\(2t^2-2t+2=2^2\)

両辺を2で割って整理すると\(t^2-t-1=0\)

これを解いて\(t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

(黄金比)となります。

また、正二十面体の体積\(\rm{V}\)は四面体OABCの体積\(\rm{V_1}\)を20倍することで求めることができます。

\(\rm{OG}=\rm{OM} \sin \angle \rm{OMG}\)

であり、

\(\sin \angle \rm{OMG}=\sin \angle \rm{AMH} = \frac{t}{\sqrt{3}}\)

であるから、

\(\rm{OG}=\frac{t^2}{\sqrt{3}}=\frac{t+1}{\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\)

1辺の長さが2の正二十面体の場合、\(\triangle \rm{ABC} = \sqrt{3}\)

であるから、

\(\rm{V_1}=\frac{1}{3} \triangle \rm{ABC}\times \rm{OG} =\rm{V_1}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\frac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{5}}{6}\)

ゆえに\(\rm{V}=20\rm{V_1}=\frac{10(3+\sqrt{5})}{3}\)

したがって1辺の長さがaの正二十面体の体積は\(\frac{\rm{V}}{2^3}a^3=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}a^3\)

となります。