1辺が2の正二十面体を考えます。このとき正二十面体の頂点は、の直交する3枚の長方形の頂点となります。(「ボタン1」を何回か押してみてください)
ｔの値を求めることができれば、12個の頂点すべての座標を設定することができます。
A(0,1,t),B(1,t,0),C(-1,t,0)とします。(「ボタン２」を押してください)
(タッチパネルや矢印キーで視点を移動できます)
Aから平面BCDEに下ろした垂線の足をH、BCの中点をMとすると、H(0,1,0),M(0,t,0)となります。
ここで、
\(AB^2=(0-1)^2+(1-t)^2+(t-0)^2=2t^2-2t+2\)
であり、三角形\(\rm{ABC}\)は正三角形であるから、\(AB^2=BC^2=2^2\)
となります。\(2t^2-2t+2=2^2\)
両辺を2で割って整理すると\(t^2-t-1=0\)
これを解いて\(t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
(黄金比)となります。
また、正二十面体の体積\(\rm{V}\)は四面体OABCの体積\(\rm{V_1}\)を20倍することで求めることができます。
\(\rm{OG}=\rm{OM} \sin \angle \rm{OMG}\)
であり、\(\sin \angle \rm{OMG}=\sin \angle \rm{AMH} = \frac{t}{\sqrt{3}}\)
であるから、
\(\rm{OG}=\frac{t^2}{\sqrt{3}}=\frac{t+1}{\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\)
1辺の長さが2の正二十面体の場合、\(\triangle \rm{ABC} = \sqrt{3}\)
であるから、
\(\rm{V_1}=\frac{1}{3} \triangle \rm{ABC}\times \rm{OG} =\rm{V_1}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\frac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{5}}{6}\)
ゆえに\(\rm{V}=20\rm{V_1}=\frac{10(3+\sqrt{5})}{3}\)
したがって1辺の長さがaの正二十面体の体積は\(\frac{\rm{V}}{2^3}a^3=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}a^3\)
となります。