立方体の切断

立方体を図のような3点A,B,Cを通る平面で切断する。このとき、断面となる多角形の頂点の座標を求めよう。

 A(a,0,1)  B(1,b,0)  C(0,1,c) ただし、a,b,cは0以上1以下の定数とする。

aの値: 0.5

bの値: 0.5

cの値: 0.5

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最初に、O(0,0,0)と(1,b,0),(1,b,1)を通る平面αを考える。

平面αと線分ACの共有点をDとし、その座標を(1,b,h)とおく。 hはa,b,cを用いて次のように表せる。

$$h=\frac{1+abc}{1+ab}$$

つぎに、直線BDとz軸の交点の座標をE(0,0,z)とする。 zをa,b,cを用いて表すと、次のようになる。 $$z=\frac{1+abc}{1+ab-a}$$ また、直線EAとx軸の交点の座標を点F(x,0,0)とする。 xをa,b,cを用いて表すと、次のようになる。 $$x=\frac{1+abc}{1+bc-b}$$ さらに、直線FBとy軸との交点の座標をG(0,y,0)とする。 yをa,b,cを用いて表すと、次のようになる。 $$y=\frac{1+abc}{1+ca-c}$$

最後に3点P(1,0,p) Q(q,1,0) R(0,r,1)の p,q,rを求める。 p,q,rをa,b,c,x,y,zを用いると次のようになる。

$$p=z+\frac{1-z}{a}$$ $$q=\frac{x(y-1)}{y}$$ $$r=\frac{1-z}{c-z}$$