正四面体の外接球と内接球 MathCal.org

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正四面体の体積(その１）

1辺がaの正四面体ABCDがある。点Aから平面BCDにおろした垂線の足をHとしたとき、次の長さを求めよ。

ボタンを押すとヒントとなる図が表示されます。

（１）△BCDの外接円の半径BH　

（２）正四面体ABCDの高さAH　

（３）四面体ABCDの体積

[解説]

(1)△AHB,△AHC,△AHDは合同な直角三角形であるからBH=CH=DHとなり,点Hは△BCDの外心となります。

BHは外接円の半径であるから,△BCDに正弦定理を用て求めることができます。

$BH=\frac{a}{\sin 60^\circ }\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

(2)高さAHは△ABHに三平方の定理を用いると求めることができます。 $AH=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

(3) $△BCD=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BD \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

$V=\frac{1}{3}\cdot △BCD \cdot AH =\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$