正四面体の体積(その2)

1辺がaの正四面体ABCDの体積を求めたい。CDの中点をM,Aから△BCDに下ろした垂線の足をHとする。このとき次の値を求めよ。

（１）\(\cos \angle ABM \)　

（２）正四面体ABCDの高さAH　

（３）四面体ABCDの体積V　

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[解説]

AM,BMは１辺がaである正三角形の中線であるから\(AM=BM=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

(1)△ABMに余弦定理を用いて

\(\cos \angle ABM = \frac{AB^2+BM^2-AM^2}{2 \cdot AB \cdot BM}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

(2)\(\sin \angle ABM > 0\)

であるから三角形の相互関係により

\(\sin \angle ABM=\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

\(AH=AB\sin \angle ABH=\frac{\sqrt{6}}{3}a\)

(3)\(S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot BD \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)

(4)\(V=\frac{1}{3} \cdot AH \cdot S=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)