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[解説]
1辺の長さが1の立方体の4つの頂点から作られる正四面体の体積は
\(1-\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 ) \cdot 1 \times 4 = \frac{1}{3}\)
(立方体から４つの角を取り除く)このとき立方体と正四面体の体積比は3:1である。
1辺の長さがaの正四面体と4つの頂点を共有する立方体の1辺の長さは\(\frac{1}{\sqrt{2}}a\)
立方体の体積は\(\frac{1}{2\sqrt{2}}a^3\)
したがって求める正四面体の体積は\(\frac{1}{3}\frac{1}{2\sqrt{2}}a^3=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)