正四面体の体積(その4)

（１）\(\cos \angle AMB \)　

（２）\(\triangle AMBの面積\)　

（３）四面体ABCDの体積V　

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AM,BMは１辺がaである正三角形の中線であるから\(AM=BM=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

(1)△ABMに余弦定理を用いて

\(\cos \angle AMB = \frac{AM^2+BM^2-AB^2}{2 \cdot AB \cdot BM}=\frac{1}{3}\)

(2)\(\sin \angle ABM > 0\)

三角形の相互関係より

\(\sin \angle \rm{AMB}=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(S=\frac{1}{2}\cdot {\rm AM} \cdot \rm{BM} \cdot \sin \angle \rm{AMB}=\frac{\sqrt{2}}{4}a^2\)

(3) \( \rm{CD} \perp \rm{BM},\rm{CD} \perp \rm{AM}より\)

\( \rm{CD} \perp 平面\rm{AMB}\)

\( V=\frac{1}{3}\triangle{\rm AMB}\cdot \rm{CD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}a^2\cdot a=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)