2直線の共通垂線

点A( \(\vec{a}\))を通り方向ベクトルを\(\vec{c}\)とする直線をl, 直線を点B(\(\vec{b}\))を通り方向ベクトル\(\vec{d}\)とする直線をmととします。

直線l,m上の点P,Qの位置ベクトルをそれぞれ\(\vec{p}=\vec{a}+s\vec{c},　\vec{q}=\vec{b}+t\vec{d}\cdots (1)\)とします。

座標や方向ベクトルを設定し,直線l,mの共通垂線PQを表示してみましょう。

マウスや画面タッチ、矢印キーで視点を移動できます。

(解説)点P,点Qの計算の仕方

PQが2直線l,mの共通垂線であるから\(\overrightarrow{PQ} \perp \vec{c}, \overrightarrow{PQ}\perp \vec{d}\) すなわち\(\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{c}=0,　 \overrightarrow{PQ}\cdot \vec{d}=0\)

よって\((\vec{q}-\vec{p}) \cdot \vec{c}=0,　(\vec{q}-\vec{p}) \cdot \vec{d}=0 \cdots (2)\)

(1)を(2)に代入して

\(\vec{b} \cdot \vec{c}-\vec{a} \cdot \vec{c}+t \vec{d} \cdot \vec{c} - s|\vec{c}|^2=0 \cdots (3)\)

\(\vec{b} \cdot \vec{d}-\vec{a} \cdot \vec{d}+t |\vec{d}|^2- s \vec{c} \cdot \vec{d}=0 \cdots(4)\)