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正四面体の外接球と内接球

1辺がaの正四面体ABCDがある。点Aから平面BCDにおろした垂線の足をHとしたとき、次の長さを求めよ。

ボタンを押すとヒントとなる図が表示されます。

（１）△BCDの外接円の半径BH　

（２）正四面体ABCDの高さAH　

（３）四面体ABCDの外接球の半径Rと内接球の半径r

[解説]

(1)△AHB,△AHC,△AHDは合同な直角三角形であるからBH=CH=DHとなり,点Hは△BCDの外心となります。

BHは外接円の半径であるから,△BCDに正弦定理を用て求めることができます。

$BH=\frac{a}{\sin 60^\circ }\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

(2)高さAHは△ABHに三平方の定理を用いると求めることができます。 $AH=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

(3)外接球の半径はOAであり、内接球の半径はOHである。OA=R,OH=rとおくと,

R+r=AH

△OBHに三平方の定理を用いて $R^2=BH^2+r^2$

これらを連立して解くと $R=\frac{\sqrt{6}}{4}a,r=\frac{\sqrt{6}}{12}a$

(3)の別解

内接球は△BCDの重心H、△ACDと重心Iと接する。BH:HM=2:1,AI:IM=2:1であるからメネラウスの定理より

$\frac{AI}{IM} \cdot \frac{MB}{BH}\cdot \frac{HO}{OA}=1$

$\frac{HO}{OA}=\frac{1}{3}$

よってOH:OA=1:3であるからOH:AH=1:4となる。

ゆえに $r=OH=\frac{1}{4}AH=\frac{\sqrt{6}}{12}a$

$R=OA=3OH=3\frac{1}{4}AH=\frac{\sqrt{6}}{4}a$

（３）の別解その２

正四面体ABCDと四面体OBCDの体積比は４：１したがってAH:OH=4:1ゆえにr=OH=AH/4 またAO:OH=3:1であるからR=AO=3OHとなる。