1辺の長さがaである正四面体ABCDに内接する球の半径を求めよ。
（タッチパネルや矢印キーで視点を移動できます）
[解説]内接球の中心をOとする半直線AOと△ABCの交点をHとする。
正四面体ABCDを四面体OBCD,OCDA,ODAB,OABCに分割すると
いずれも同じ体積となるため、正四面体ABCDと四面体OBCDの体積比は4:1
である。このとき底面を△BCDとみると,四面体ABCDと四面体OBCDの高さの比は体積比と等しい。
したがってAH：OH=4:1である。ゆえに
\(OH=\frac{1}{4}AH=\frac{1}{4}\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)
内接球の中心をO,半径をrとする。正四面体ABCDの体積をVとする。
四面体OBCD,OCDA,ODAB,OABCの体積は等しく,それをV'とすると,
\(V=4V'\cdots (1)\)
となる。\(△BCD=\frac{1}{2}BC BD \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)
であるから,\(V'=\frac{1}{3}△BCD \cdot r =\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 r \cdots (2)\)
また\(V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \cdots (3)\)
(四面体の体積3 を参照）
(2)と(3)を(1)に代入して
\(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3=4\cdot \frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{4}a^2r\)
rについて解くと
\(r=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)