正四面体に内接する球

1辺の長さがaである正四面体ABCDに内接する球の半径を求めよ。

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[解説]

内接球の中心をOとする半直線AOと△ABCの交点をHとする。

【解1:正四面体の高さAHを用いる方法】

正四面体ABCDを四面体OBCD,OCDA,ODAB,OABCに分割すると

いずれも同じ体積となるため、正四面体ABCDと四面体OBCDの体積比は4:1

である。このとき底面を△BCDとみると,四面体ABCDと四面体OBCDの高さの比は体積比と等しい。

したがってAH:OH=4:1である。ゆえに

\(OH=\frac{1}{4}AH=\frac{1}{4}\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)

【解2:正四面体の体積Vと△BCDの面積Sを用いる方法】

内接球の中心をO,半径をrとする。正四面体ABCDの体積をVとする。

四面体OBCD,OCDA,ODAB,OABCの体積は等しく,それをV'とすると,

\(V=4V'\cdots (1)\)

となる。

\(△BCD=\frac{1}{2}BC BD \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)

であるから,\(V'=\frac{1}{3}△BCD \cdot r =\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 r \cdots (2)\)

また\(V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \cdots (3)\)

(四面体の体積3  を参照)

(2)と(3)を(1)に代入して

\(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3=4\cdot \frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{4}a^2r\)

rについて解くと

\(r=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)