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（１）△BCDの外接円の半径BH
（２）正四面体ABCDの高さAH
（３）四面体ABCDの外接球の半径R
(1)△AHB,△AHC,△AHDは合同な直角三角形であるからBH=CH=DHとなり,点Hは△BCDの外心となります。
BHは外接円の半径であるから,△BCDに正弦定理を用て求めることができます。\(BH=\frac{a}{\sin 60^\circ }\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)(2)高さAHは△ABHに三平方の定理を用いると求めることができます。\(AH=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a\)
(3)外接球の半径はOAであり、内接球の半径はOHである。OA=Rとおくと,OH=AH-Rとなる。
△OBHに三平方の定理を用いて\(R^2=BH^2+(AH-R)^2\)
\(BH=\frac{\sqrt{3}}{3}a,AH=\frac{\sqrt{6}}{3}a\) を代入してRについて解くと\(R=\frac{\sqrt{6}}{4}a,r=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)
(3)の別解
内接球は△BCDの重心H、△ACDと重心Iと接する。BH:HM=2:1,AI:IM=2:1であるから メネラウスの定理より\(\frac{AI}{IM} \cdot \frac{MB}{BH}\cdot \frac{HO}{OA}=1\)
\(\frac{HO}{OA}=\frac{1}{3}\)
よってOH:OA=1:3であるからOH:AH=1:4となる。
ゆえに\(r=OH=\frac{1}{4}AH=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)
\(R=OA=3OH=3\frac{1}{4}AH=\frac{\sqrt{6}}{4}a\)
（３）の別解その２
正四面体ABCDと四面体OBCDの体積比は４：１したがってAH:OH=4:1ゆえにr=OH=AH/4 またAO:OH=3:1であるからR=AO=3OHとなる。